Bởi vì tích của hai ma trận tam giác trên lại là tam giác trên, tập hợp các ma trận tam giác trên tạo thành một đại số. Các đại số của ma trận tam giác trên có sự khái quát tự nhiên trong phân tích chức năng tạo ra các đại số tổ trên các không gian Hilbert.

Một ma trận không vuông (hoặc đôi khi là bất kỳ) có các số 0 ở trên (bên dưới) đường chéo được gọi là ma trận hình thang (trên) dưới. Các mục khác không tạo thành hình dạng của hình thang.

Nhóm con Borel và nhóm cơ Borel

Tập hợp các ma trận tam giác khả nghịch của một loại nhất định (trên hoặc dưới) tạo thành một nhóm, thực sự là một nhóm Lie, là một nhóm con của nhóm tuyến tính tổng quát của tất cả các ma trận khả nghịch. Một ma trận tam giác có thể đảo ngược chính xác khi các mục chéo của nó không thể đảo ngược (khác không).

Qua những con số thực, nhóm này bị ngắt kết nối, có 2 n {\displaystyle 2^{n}} các thành phần tương ứng như mỗi mục nhập chéo là tích cực hoặc tiêu cực. Thành phần nhận dạng là ma trận tam giác khả nghịch với các mục dương trên đường chéo và nhóm tất cả các ma trận tam giác khả nghịch là một sản phẩm bán dẫn của nhóm này và các mục chéo với ± 1 {\displaystyle \pm 1} trên đường chéo, tương ứng với các thành phần.

Đại số Lie của nhóm Lie của ma trận tam giác trên không thể đảo ngược là tập hợp của tất cả các ma trận tam giác trên, không nhất thiết là không thể đảo ngược, và là một đại số Lie có thể giải được. Đây là, tương ứng, nhóm con Borel B tiêu chuẩn của nhóm Lie GL n và nhóm con Borel tiêu chuẩn b {\displaystyle {\mathfrak {b}}} của đại số Lie gl n.

Các ma trận tam giác trên chính xác là các ma trận ổn định cờ tiêu chuẩn. Các nhóm không thể đảo ngược trong số chúng tạo thành một nhóm con của nhóm tuyến tính chung, có các nhóm con liên hợp là những nhóm được xác định là bộ ổn định của một số cờ hoàn chỉnh (khác). Những nhóm nhỏ này là nhóm con Borel. Nhóm các ma trận tam giác dưới không thể đảo ngược là một nhóm nhỏ như vậy, vì nó là bộ ổn định của cờ tiêu chuẩn liên quan đến cơ sở tiêu chuẩn theo thứ tự ngược lại.

Bộ ổn định của một phần cờ thu được bằng cách quên một số phần của cờ tiêu chuẩn có thể được mô tả như một tập hợp các ma trận tam giác khối trên (nhưng các phần tử của nó không phải là tất cả các ma trận tam giác). Các liên hợp của một nhóm như vậy là các nhóm con được định nghĩa là bộ ổn định của một số cờ một phần. Những nhóm nhỏ này được gọi là phân nhóm parabol.

Ví dụ

Nhóm 2 của 2 ma trận đơn vị trên là đẳng cấu với nhóm phụ gia của trường vô hướng; trong trường hợp số phức, nó tương ứng với một nhóm được hình thành từ các phép biến đổi Möbius parabol; các ma trận đơn vị 3 trên 3 tạo thành nhóm Heisenberg.